開立法

開立法（かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root）は、正の実数の立方根の小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。

立方九九

開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。

近似計算法

計算式（1）

開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。

${\displaystyle (a b)^{3}=a^{3} 3a^{2}b 3ab^{2} b^{3}}$

ここで、${\displaystyle a\gg b}$とすると、

${\displaystyle (a b)^{3}=a^{3} 3a^{2}b}$

${\displaystyle b={\frac {(a b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}}}$

である。両辺にaを加えて、

${\displaystyle a b=a {\frac {(a b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}}}$

となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の${\displaystyle (a b)^{3}}$を与えられた数として扱う。ただし、${\displaystyle a^{3}}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

計算式（2）

また、

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b 3ab^{2}-b^{3}}$

を用いて、${\displaystyle a\gg b}$として、

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b}$

${\displaystyle b={\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}}$

である。したがって、

${\displaystyle a-b=a-{\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}}$

この式の左辺を近似立方根、右辺の${\displaystyle (a-b)^{3}}$を与えられた数として扱う。ただし、${\displaystyle a^{3}}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

近似計算法を用いた計算例

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1361}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1000}}=10,~{\sqrt[{3}]{1331}}=11,~{\sqrt[{3}]{1728}}=12}$と${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1361}}}$に近い数を求めると、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1331}}}$が最も近い数であることがわかる。

計算式(1)を用いて、${\displaystyle (a b)^{3}=1361,~a=11,~a^{3}=1331}$として求める数${\displaystyle a b}$は、

${\displaystyle a b=11 {\frac {1361-1331}{3\times 11^{2}}}=11.08264463\cdots }$

となる。電卓により計算すると、

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1361}}\fallingdotseq 11.08203137\cdots }$

であり近似計算できることがわかる。

珠算による開立法

根の定位

• 立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
• 立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
• 立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

倍根法

例：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{314432}}=68}$

電卓による開立法

関数電卓でない普通の電卓でも、開平を行う√キーさえあれば立方根を求めることができる。

• まず与えられた数を入力し、×=の順にキーを押す。ただしカシオの電卓に限り、××と押す（定数計算モードを示す「K」が表示される）。
• √√と押す。このときに表示された数値の末尾数桁を記憶しておく。
• 次に=を押す。定数計算により、表示された数に最初の数が掛けられる。
• また√√と押す。表示された数値の末尾数桁が先程と同じ数値であれば、その数値が立方根となる。同じでなければ前項に戻って繰り返す。

関連項目

• 開平法

外部リンク